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[主观题]
设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且令 Tx=y:ηn=αnξn, n=1,2,…, 其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证
设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且
令
Tx=y:ηn=αnξn, n=1,2,…,
其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证明:σ(T)等于{αn}的闭包,每个αn是T的特征值,且T的谱族{Eλ]由下式给出:
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设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且
令
Tx=y:ηn=αnξn, n=1,2,…,
其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证明:σ(T)等于{αn}的闭包,每个αn是T的特征值,且T的谱族{Eλ]由下式给出:
设f(x)为定义于-1<x<1的实值函数,且f'(0)存在,又{an},{bn}是两个数列,满足
证明
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).
设α1,α2,…,αm均为n维实列向量.令矩阵
证明:A为正定矩阵的充分必要条件是向量组α1,α2,…,αm线性无关.
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足
(Ax,y)=(x,By),
其中,则A,B均有界。
设{ek},{e'k}(k=1,2,…)是希尔伯特空间中的两个规范正交系,满足
。证明:当{ek},{e'k}中之一完备时,另一个也是完备的。
设X0=1,X1,X2,…,Xn,…是相互独立且都以概率p(0<p<1)取值1,以概率q=1-p取值0的随机变量序列,令,证明{Sn,n≥0}构成一马氏链,并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵.