题目内容
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[主观题]
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足 (Ax,y)=(x,By), 其中,则A,B均有界。
设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足
(Ax,y)=(x,By),
其中,则A,B均有界。
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设A,B是希尔伯特空间上的线性算子,满足
(Ax,y)=(x,By),
其中,则A,B均有界。
证明:设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是对称线性算子,则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且
设X,Y为内积空间,F:X→Y为线性算子。求证:任取x∈X有
‖F(x)‖=‖x‖ (23)
当且仅当任取x1,x2∈X有
<F(x1),F(x2)>=<x1,x2>。 (24)
设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且令
Tx=y:ηn=αnξn, n=1,2,…,
其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证明:σ(T)等于{αn}的闭包,每个αn是T的特征值,且T的谱族{Eλ]由下式给出:
设R3中C2曲面M在等温参数{u,v}下,第1基本形式:I=ds2=E(du2+dv2)=λ2(du2+dv2),E=G=λ2 (λ>0). (1)Laplace算子表达式为
其中f为M上的C2函数; (2)Gauss曲率为
设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:
其中、世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称维拉普拉斯算子.
设f(x,y)可微,l1与l2是R2上一组线性无关向量.试证明:若,则f(x,y)≡常数.