试证明:
设f0(x),fn(x)(n∈N)是[0,1]上非负可积函数,若fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f0(x),且有
,
则对[0,1]中任一可测集E,均有
.
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集,其中E1是紧的,E2是闭的。证明:存在X'中的厂和实数α1,α2,使得对所有E1中的x1和E2中的x2有
Ref(x1)<α1<α2<Ref(x2)
设B[a,b],α>0.令A0={f∈C[a,b]:f(t)=0,
t∈B),Aα={f∈C[a,b]:|f(t)|<α,其中t∈B}.证明A0为C[a,b]中闭集;Aα为C[a,b]中开集的充要条件是B为闭集.
证明:
(1) 若F1,F2为闭集,则F1∪F2与F1∩F2都为闭集;
(2) 若E1,E2为开集,则E1∪E2与E1∩E2都为开集;
(3) 若F为闭集,E为开集,则F\E为闭集,E\F为开集.