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[主观题]

设g(x)是系数属于域Zp(p是素数)的一个多项式.证明: [g(x)]p=g(xp).

设g(x)是系数属于域Zp(p是素数)的一个多项式.证明: [g(x)]p=g(xp).

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第1题
设R是有单位元的整环(可换、无零因子).证明: 1)若char R=∞,则R有子环与Z同构; 2)若char

设R是有单位元的整环(可换、无零因子).证明: 1)若char R=∞,则R有子环与Z同构; 2)若char R=p(p是素数),则R有子环与Zp同构.

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第2题
设个体域为自然数集N,F(x):x是偶数,C(x):x是素数,用0元谓词将下列命题符号化,并讨论它们的真假。(1)2是偶素数。(2)若2是素数,则4不是素数。(3)只有2是素数,6才能是素数。(4)除非6是素数,否则4是素数。(5)5是素数当且仅当6是素数。(6)5不是素数当且仅当6是素数。

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第3题
设A与B是数域F上两个n阶相似方阵,F[A]为系数属于F的关于A的一切多项式作成的集合.问:法则 φ
:f(A)→f(B) 是否为F[A]到F[B]的映射?其中f(x)是系数属于F的任意多项式.又φ是否为单射或满射?

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第4题
设f(x1,x2,…,xn)是数域F上一个,x元齐次多项式,证明:如果g(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)h(x1,x2,…,xn),则g,h也

设f(x1,x2,…,xn)是数域F上一个,x元齐次多项式,证明:如果g(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)h(x1,x2,…,xn),则g,h也是,n元齐次多项式.

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第5题
试求初值问题 设函数f(t,x)在平面上的条形区域G:a<t<b,|x|<∞上连续,φ1(t),φ2(t)是方程 过同

设函数f(t,x)在平面上的条形区域G:a<t<b,|x|<∞上连续,φ1(t),φ2(t)是方程

试求初值问题 设函数f(t,x)在平面上的条形区域G:a<t<b,|x|<∞上连续,φ1(t),φ2过同一点(t0,x0)∈G的两个解,φ1(t)≤φ2(t).证明域G中介于φ1(t),φ2(t)间的部分被方程过点(t0,x0)∈G的解充满.

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第6题
设个体域D={2,3,6},F(x):x≤3,G(x):x>5,试消去公式(x)(F(x)∧(y)G(y))的量词,并讨论其真值.

设个体域D={2,3,6},F(x):x≤3,G(x):x>5,试消去公式(x)(F(x)∧(y)G

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第7题
证明:pm(p是素数,m是正整数)阶群G必含有p阶元,而且p阶元的个数是p-1的倍数.

证明:pm(p是素数,m是正整数)阶群G必含有p阶元,而且p阶元的个数是p-1的倍数.

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第8题
设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式. 证明: (i)若g(x)|f(x),那

设f(x)是一个多项式,用设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式. 证明:  表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式。证明:

(i)若g(x)|f(x),那么设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式. 证明:  ;

(i)若d(x)是f(x)和设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式. 证明:  的一个最大公因式,并且d(x)的最高次项系数是1,那么d(x)的最高次项系数是1,那么d(x)是一个实系数多项式。

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第9题
设p是素数,a是整数,则当p|a时,gcd(p,a)=p;当pa时,gcd(p,a)=1.

设p是素数,a是整数,则当p|a时,gcd(p,a)=p;当p≥a时,gcd(p,a)=1.

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第10题
令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是(i)求出σ的最

令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是

令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是(i)求出σ的最令

(i)求出σ的最小多项式p(x),并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p1(x)与p2(x)的乘积;

(ii)令Wi={ξ∈V|pi(σ)ξ=0},i=1,2。证明,Wi是σ的不变子空间,并且V=W1⊕W2;

(iii)在每一子空间Wi中选取一个基,凑成V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。

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