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[主观题]
设C为光滑的闭曲线，a为任一固定的单位向量．求证：∮Ccos（a，n)ds=0，其中n为曲线C的单位外法向量．
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设圆柱面x2+y2=R2上的两条光滑曲线Г1与Г2在点P处相交，两者的夹角为α，又设Г1，Г2与柱面的任一母线均不相切．沿着不经过点P的某条母线将柱面剪开铺在平面上．铺开后，曲线Г1与Г2分别变成曲线Г'1与曲线Г'2，点P变为P'。证明：Г'1与Г'2在点P'处的夹角为α．
设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:
其中
、
世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号
称维拉普拉斯算子.
设C为逐段光滑闭曲线，int(C)=G，函数f(z)在G内除极点a1，a2，…，an(均≠0)外解析，在
=G∪C上除这些点外连续， 则
其中z≠0，且z∈G及z≠ak(k=1，2，…，n)，Gk(z)为f(z)在点ak的Laurent展开式的主要部分，试证之．
证明：若f(u)为连续函数，C为分段光滑的简单闭曲线，则∮Cf(x2+y2)(xdx+ydy)=0．
计算曲线积分
，其中AMB为连接A(π，2)与点B(3π，4)的线段
之下方的任意分段光滑简单闭曲线，且该路线与线段
所围图形面积为2。
设P(x，y)，Q(x，y)在光滑曲线L上连续，l为曲线L的长度，
设S为光滑闭曲面，V为S所围的区域，函数u(x，y，z)在V与S上具有二阶连续偏导数，函数ω(x，y，z)的偏导连续．证明：
设f(z)在区域D内解析．C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在D内但不在C上的任意点z0，等式
=0成立
证明：L≥2πR．
中，其中L为不经过原点的逆时针光滑闭曲线。
为KG＞0的2维紧致、定向、连通的曲面，且
，则M为球面．
