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[主观题]
试证明: 设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
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试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
设f1(x)=f[f(x)],
f2(x)=f[f1(x)],fn+1(x)=f[fn(x)](n=1,2,…).试求fn(x)的解析表达式.
试证明:
设{fn(x}}是R1上非负渐降连续函数列.若在有界闭集F上fn(x)→0(n→∞),则fn(x)在F上一致收敛于零.
试证明:
设f0(x),fn(x)(n∈N)是[0,1]上非负可积函数,若fn(x)在[0,1]上依测度收敛于f0(x),且有
,
则对[0,1]中任一可测集E,均有
.
试证明:
设f:X→X,且令f1(x)=f(x),f2(x)=f[f(x)],…,fn(x)=f[fn-1(x)],….若存在n0,使得fn0(x)=x,则f是一一映射.
证明:若函数列{fn(x)}在区间Ii(i=1,2,..,n)都一致收敛,则函数
列{fn(x)}在也一致收敛.
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
设fn∈C(1)([0,1]),‖f'n‖∞≤1(n∈N).若对一切g∈C([0,1]),有,试证明
.
设函数列fn(x)在E上测度收敛于f(x),且在E上几乎处处有fn(x)≤g(x),n∈N。试证:在E上几乎处处有
f(x)≤g(x)
设总体X的分布函数为F(x),经验分布函数为Fn(x),试证:
E[Fn(x)]=F(x),