设K的全部极点为x(1),x(2),…,x(u),K的全部极射向为y(1),y(2),…,y(v),则x∈K当且仅当存在αi≥0(i=1.2,…,u)且和βi≥0(i=1,2,…,v),使得
(8.7)
设实对称阵A和B的特征值分别是λ1≤λ2≤…≤λn和u1≤u2≤…≤un,若对单位向量x,恒有∣xT(B-A)x∣≤ε(ε>0),则∣uk=λk∣≤ε(k=1,2,…,n).
证明下述结论:
设x(1),x(2)是LP的可行解集K={x|Ax=b,x≥0)的两个极点,则x(1)与x(2)相邻的充要条件是:A的列向量集{pi|xi(1)+xi(2)>0}线性相关,且存在指标l使{pj|xi(1)+xi(2)>0,i≠l)线性无关(xi(1),xi(2)分别表示x(1),x(2)的第i个分量)
设φ(x)满足
(1)φ(x0)>x0,x0∈[a,b],
(2)φ'(x)≥0,x∈[x0,b],
(3)x=φ(x)在[x0,b]上有根,
则由x0出发,由
xk+1=φ(xk), k=0,1,2,… (2.14)
产生的迭代序列单调上升收敛于x=φ(x)在[x0,b]上的最小根.
(解联立方程组的斜量法) 设ωk=ωk(x1,x2,…,xn)=0(k=1,2,…,n)为包含n个未知元的联立方程组,其中诸ωk均为x的可微函数,而且偏微商均连续.今把X=(x1,x2,…,xn)看作n维空间的位置矢量,把W=(ω1,ω2,…,ωn)看作位置矢量X的函数W=W(X).又以ρ表示W的模(长度):
此处总是ρ(X)≥0,而ρ(X)=0的解亦就是方程组的解.于是当X1=(x'1,x'2,…,x'n)为方程组的一个近似解时(即其所相应的模ρ1=ρ(X1)为一相当小的正数),则进一步的近似解X2=(x12,x22,…,xn2)便可按下式求出:
(电子科技大学2007年硕士研究生入学考试试题)设某速度跟踪系统如图3-47所示。要求: (1)若要求系统工作在ζ=0.6的状态下,K应为多大? (2)系统输入,r(t)是幅值为36的阶跃信号,系统开始工作后,系统输出c(t)最大值为多少?
设,已知
,证明:
(1)(k≥2为正整数);
(2)A+2I或A-I不可逆;
(3)A及A+I均可逆.