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[主观题]

设Y是赋范空间X的子空间,g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明:

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第1题
设Y是赋范空间X的有限维真子空间。证明在X中存在x1使得‖x1‖=1且d(x1,Y)=1,即Riesz引理在r=1时成立。

设Y是赋范空间X的有限维真子空间。证明在X中存在x1使得‖x1‖=1且d(x1,Y)=1,即Riesz引理在r=1时成立。

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第2题
设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及x,y∈E, F(rx+(1-r

设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及x,y∈E,

F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y)

证明设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。

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第3题
设M是赋范线性空间X的子集,由M张成的子空间是包含M的最小闭子空间()
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第4题
设X,Y是赋范空间,F∈BL(X,Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集,则F是满射。

设X,Y是赋范空间,F∈BL(X,Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集,则F是满射。

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第5题
设X和Y是赋范空间,F:X→Y是线性的,证明下列陈述是等价的: (a)F是连续的。 (b)F映X中的柯西列到Y中的柯西列。

设X和Y是赋范空间,F:X→Y是线性的,证明下列陈述是等价的:

(a)F是连续的。

(b)F映X中的柯西列到Y中的柯西列。

(c)F映X中的收敛列到Y中的收敛列。

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第6题
设X和Y都是赋范空间,X是有限维空间,证明从X到Y的线性映射都是连续的。
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第7题
设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,存在X中的xm使得 证明存在X中的x使

设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,存在X中的xm使得

设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,

证明存在X中的x使得

设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,,m=1,2,…。

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第8题
若X是无穷维赋范空间,证明以下结论: (a)存在单的不连续的线性映射F:X→X (b)存在X上不连续的线性泛函。 (d

若X是无穷维赋范空间,证明以下结论:

(a)存在单的不连续的线性映射F:X→X

(b)存在X上不连续的线性泛函。

(d)对任意的赋范空间Y≠{0},存在不连续的线性映射F:X→Y

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第9题
设E是赋范线性空间,L是E真闭子空间,证明:L在E中稀疏。
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第10题
设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.

设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.设X为赋范线性空间,则X是Bana设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.设X为赋范线性空间,则X是Bana

使得设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.设X为赋范线性空间,则X是Bana设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.设X为赋范线性空间,则X是Bana设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.设X为赋范线性空间,则X是Bana收敛.

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